传输线理论:观测反射系数和驻波

模拟技术 时间:2024-10-21来源:EEPW编译

通过传输线、方程和示例波形了解射频(RF)波的传播和反射。

自然界中各种类型的波的行为基本相似。就像悬崖上回声的声音一样,当电波遇到传播介质阻抗的变化时就会发生反射。波的反射会导致一种有趣的现象,称为驻波。驻波对大多数乐器产生声音的方式至关重要。例如,如果没有驻波的可预测性和放大效应,弦乐器就无法正常发挥其作用。

然而,在射频设计中,当我们打算将功率从信号链中的一个模块传输到下一个模块时,驻波是不现实的。事实上,驻波会影响不同射频和微波系统的性能,从电波消声室到微波炉等日常电器。

虽然波传播和反射的概念并不十分复杂,但一开始可能会有点令人困惑。可视化波浪如何在不连续的地方传播和反射,最佳方法是绘制不同配置的波动方程。

在本文中,我们将首先推导出所需的方程,并通过几个示例波形来解释驻波现象。

输电线路电压和电流波动方程

首先,让我们推导出我们的方程式。我知道这很无聊,但它们确实帮助我们理解波在传输线上是如何传播和相互作用的。在本系列的前一篇文章中,我们研究了输电线路的正弦稳态响应,并推导出了电压和电流方程。将vs(t)=Vscos(ωt)应用于线路,电压和电流波为:

 

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解释:

A和B是常数,可以从线路输入和输出端口的边界条件中找到

Z0是特性阻抗

β是相位常数

这些方程对应于图1(a)所示的配置,其中正x轴方向被选择为从源到负载。如果我们用它们的相量来表示这些波,则正向传播(或入射)波和反向传播(或反射)电压波将分别为Ae-jβx和Bejβx,如图1(a)所示。

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图1 显示正轴方向的图表是从源到负载(a),然后从负载到源(b)

关于输电线路问题,通常更方便的选择从负载到电源的正轴方向,如图1(b)所示。为了找到新的方程,我们需要将原始方程中的x替换为l-d。如新变量d所示,正向行波变为:

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其中A1=Ae-jβl是一个新常数。从这里可以验证,在新的坐标系中,反射波为B1e-jβd,其中B1=Bejβl。因此,总电压和电流相量如方程式1和2所示。

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方程式1

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方程式2

这些方程使检查荷载对波浪反射的影响变得更加容易,因为在这种情况下,荷载为d=0,简化了方程。设d=0,在负载端得到以下方程,如方程3和4所示。

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方程式3

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方程式4

例如,让我们考虑线路在开路中终止的情况。当输出开路(ZL=∞)时,输出电流明显为零。根据方程式4,我们有A1=B1,因此总电压为V(d=0)=2A1。

因此,对于开路线路,反射电压等于输出端的入射电压,此时的总电压是入射电压的两倍。同样的,我们可以使用方程3和4来算出任意负载阻抗ZL的反射波与入射波的比率。这个比率是一个重要的参数,称为反射系数,我们稍后会说明。

输入阻抗和反射系数公式

使用方程式1和2,我们可以找到沿线不同点的电压与电流之比(即传输线的输入阻抗)。这导出了方程式5。

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方程式5

注意到线路负载端的线路阻抗(d=0)等于负载阻抗ZL,我们得到:

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使用一点代数,上述方程给出了反射电压波与入射电压波的比率(B1/A1),在方程6中定义为反射系数Γ。

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方程式6

上述讨论表明,对于端接线路,入射波和反射波之间存在明确的关系。请注意,一般来说,反射系数是一个复数,Γ的幅度和相位信息都很重要。对于功率传输,我们试图有一个匹配的负载(ZL=Z0),导致Γ=0。在这种情况下,施加到输入端的波完全被负载吸收,不会发生反射。在这里考虑另外两种特殊情况是有益的:我们稍后将讨论的开路线路和短路线路。

虽然波传播和反射的概念基本上并不复杂,但一开始可能会令人困惑。可视化波如何在不连续处传播和反射的最佳方法是绘制我们上面开发的方程。此外,值得一提的是,有许多在线模拟器可以帮助您更好地理解波传播概念。

短路线路

接下来,让我们复习一下短路线路。短路时,总输出电压应始终为零。此外,根据方程6,我们得到Γ=-1。入射电压波由下式给出:

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图2中的顶部曲线提供了该方程在三个不同时间点t1、t2和t3的曲线图,其中t1<t2<t3。

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图2 短路的正向电压(顶部)、反向电压(中部)和总电压(底部)的示例曲线

上述曲线细分如下:

输电线路的长度为0.2米

负载为d=0

β为50弧度/米

信号频率为2 GHz

请注意,随着时间的推移,入射波是如何逐渐向负载移动的(在d=0时)。上图中的中间曲线显示了远离负载的反射电压。反射电压方程为:

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其中Γ设置为-1以考虑短路。总电压是下曲线中给出的入射电压和反射电压之和。正向电压在沿线所有点(包括线路的负载端)的最小值和最大值之间波动。然而,反射电压取入射电压的相反值,因此负载端的总电压始终为零。

总电压波有一个有趣的特征:它静止不动,与它的组成波不同,总电压波不在任何方向上传播。例如,最大电压点和零电压点不会随时间移动。为了更好地说明这一点,图3绘制了36个不同时间点的总电压。

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图3 显示36个不同时间点的总电压的图

可以看出,过零点(节点)和最大振幅的位置(波腹)是沿线的一些固定位置。由于波不沿任何方向传播,因此称为驻波。

输电线路开路

对于开路线路(ZL=∞),方程6得出Γ=1。在这种情况下,反射电压的幅度和相位等于入射电压。图4中的顶部和中间曲线分别显示了开路线上三个不同时间点的入射和反射电压波。

示例图显示了开路的正向电压(顶部)、反向电压(中部)和总电压(底部)。

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图4 示例图显示了开路的正向电压(顶部)、反向电压(中部)和总电压(底部)

注意,入射波和反射波在d=0时具有相同的值。因此,总电压(底部曲线)是负载端入射电压的两倍。由于Γ=1,反射电流Ir的幅度和相位也与入射电流Ii相同。然而,负载端的总电流为Ii-Ir=0,这并不奇怪,因为负载是开路的。

此外,我们可以再次观察到总电压是驻波。这在图5中得到了最好的说明,图5绘制了36个不同时间点的总电压波。

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图5 示例图显示了开路36个不同时间点的总电压波

计算端接线路的任意负载

接下来,让我们使用我们的方程来检查Γ=0.5的终止线。图6中绘制了任意时间的入射和反射电压波。

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图6 显示入射和反射电压波的图

这两个波的传播方向相反。你应该能够想象,在某个时间点和沿线的某个特定位置,两个波的峰值将重合,产生总电压波的最大值。如图7所示。

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图7 示例图显示了当入射波和反射波的峰值重合时总电压波的最大值

此外,在其他时间点,沿线的特定位置将“看到”较大波浪的峰值和较小波浪的最小值,如图8所示。

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图8 示例图显示了总电压波,其中入射波和反射波具有相反的峰和谷

在这些点上,总电压波的振幅处于最小值。在我们的例子中,正向波和反射波的振幅分别为1和0.5。因此,总电压波的最小振幅为1-0.5=0.5。为了更好地观察沿线不同点的电压振幅,图9绘制了36个不同时刻的总电压波。

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图9 示例图显示了36个不同时刻的总电压波

此图可以让您了解线上不同点的波动幅度。请注意,虽然d=0.181m等点在±1.5V之间波动,但还有其他点。例如,d=0.1568 m,其振幅要小得多,在±0.5 V之间波动。

你可能会问的一个问题是,整个波浪是运动的还是静止的?图10显示了一些连续时间点(t1<t2<…<t6)的少量总电压图,以回答这个问题。

示例显示了连续时间点的总电压图较少。

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图10 示例显示了连续时间点的总电压图较少

该图显示,随着时间的推移,波浪会朝向负载传播。请注意,虽然入射波和反射波的振幅是恒定的,但组合电压的振幅会随着时间的推移而上升和下降。

事件、反射和驻波总结

让我们总结一下我们的观察结果:

在负载匹配的情况下,入射波朝向负载传播,没有反射。在这种情况下,波沿线具有恒定的振幅。

对于短路和开路线路,入射波被全反射(Γ=-1或1)。在这种情况下,组合电压不沿任何方向传播,称为驻波。

对于驻波,我们在沿线的固定位置有波节和波腹。波节根本不波动,而波腹以最大振幅波动。

对于上述三种情况以外的负载,我们有一个随时间上升和下降的行波(尽管它实际上是一个行波,但我们偶尔仍会轻率地将其称为驻波)。在这种情况下,我们没有任何节点,但有些点的振幅比其他点小。这种情况介于无反射的理想情况(Γ=0)和全反射的最坏情况(Γ=±1)之间。

因此,考虑到所有这些,我们必须知道我们的传输线在这个频谱的哪个点上运行。参数VSWR(电压驻波比)定义为波的最大振幅与其最小振幅的比值,它使我们能够表征我们离驻波有多近。当有全反射时,VSWR是无限的;对于匹配的负载,VSWR为1。

至于其他情况,VSWR介于这两个极值之间。VSWR为我们提供了一种表征反射量的替代方法。这将在下一篇文章中更详细地讨论。

关键词: 传输线理论 反射系数 驻波

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