小波变换和motion信号处理:第二篇

嵌入式系统 时间:2014-05-22来源:网络

这是《小波变换和motion信号处理》系列的第二篇,深入小波。第一篇我进行了基础知识的铺垫,第三篇主要讲解应用。

在上一篇中讲到,每个小波变换都会有一个mother wavelet,我们称之为母小波,同时还有一个father wavelet,就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数,平移的大小和当前其缩放的程度有关。

还讲到,小波系统有很多种,不同的母小波,衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样:

 

 

其中的

 

 

就是小波级数,这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是,小波级数通常是orthonormal basis,也就是说,它们不仅两两正交,还归一化了。

我们还讲了一般小波变换的三个特点,就是小波级数是二维的,能定位时域和频域,计算很快。但我们并没有深入讲解,比如,如何理解这个二维?它是如何同时定位频域和时域的?

在这一篇文章里,我们就来讨论一下这些特性背后的原理。

首先,我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢?之前讲到,小波basis的形成,是基于基本的小波函数,也就是母小波来做缩放和平移的。但是,母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候,通常还要用到一个函数叫尺度函数,scaling function,人们通常都称其为父小波。它和母小波一样,也是归一化了,而且它还需要满足一个性质,就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交:

 

 

 

 

另外,为了方便处理,父小波和母小波也需要是正交的。可以说,完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。

 

 

其中

 

 

是母小波,

 

 

是父小波。需要提醒一点的是,这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性,并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。但大部分小波变换的基确实是正交的,所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。引入这个父小波呢,主要是为了方便做多解析度分析(multiresolution analysis, MRA)。说到这里,你的问题可能会井喷了:好好的为什么出来一个父小波呢?这个scaling function是拿来干嘛的?它背后的物理意义是什么?wavelet function背后的物理意义又是什么?这个多解析度分析又是什么呢?不急,下面,我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识,同时再引出新的特性。

假设我们有这样一个信号:

 

 

该信号长度为8,是离散的一维信号。我们要考虑的,就是如何用小波将其展开。为了方便讲解,我们考虑最简单的一种小波,哈尔小波。下面是它的一种母小波:

 

 

那如何构建基于这个母小波的基呢?刚才提到了,要缩放,要平移。我们先试试缩放,那就是ψ(2n):

 

 

但这样的话,它与自己的内积就不是1了,不符合小波基orthonormal的要求,所以我们要在前面加一个系数根号二,这样我们就得到了另一个哈尔小波的basis function:

 

 

同理,我们可以一直这样推广下去做scale,得到4n,8n,…….下的basis function。当然在这个例子里,我们信号长度就是8,所以做到4n就够了。但推广来说,就是这种scaling对母小波的作用为

 

 

,这是归一化后的表示形式。

平移的话也很简单,我们可以对母小波进行平移,也可以对scale之后的basis function进行平移。比如对上一幅图中的basis function进行平移,就成了

 

 

看得出来,平移后的basis function和母小波以及仅仅scale过的小波,都是正交的,附合小波basis的特点。如果我们用ψ(n)来表示这个mother wavelet,那么这些orthonormal basis函数可以写成:

 

 

这里的k是可以看成时域的参数,因为它控制着小波基时域的转移,而j是频域的参数,因为它决定了小波基的频率特性。看到这里,你应该会感觉很熟悉,因为这里的平移和变换本质和刚才对scaling function的平移变换是一模一样的。

这样,我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合:

 

 

图1

可以看出,我们用到了三层频率尺度的小波函数,每往下一层,小波的数量都是上面一层的两倍。在图中,每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。

等等,你可能已经发现了,有问题。这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢?这货明显不是wavelet function阿。没错,它是之前提到的scaling function,也就是父小波。然后你可能就会问,为啥这个凭空插了一个scaling function出来呢?明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。是,确实是,就算不包括scaling function,这些小波函数本身也组成了正交归一基,但如果仅限于此的话,小波变换也就没那么神奇的功效了。引入这个scaling function,才能引入我们提到的多解析度分析的理论,而小波变换的强大,就体现在这个多解析度上。那在这里,我们怎么用这个多解析度呢?这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢?

话说在数学定义中,有一种空间叫Lebesgue空间,对于信号处理非常重要,可以用L^p(R)表示,指的是由p次可积函数所组成的函数空间。我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的,这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合,这样就等于对信号提出了一个限制,就是信号能量必须是有限的,否则它就不可积了。小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。这玩意的特性要具体解释起来太数学了,牵涉到太多泛函知识,我就不在这里详述了。而且老实说我也没能力完全讲清楚,毕竟不是学这个的,有兴趣可以参考wiki。总之你记住,小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号,但其应用不限于这种信号,就行了。

对L^2(R)空间做MRA是在干嘛呢?就是说,在L^2(R)空间中,我们可以找出一个嵌套的空间序列

 

 

,并有下列性质:

(i)

 

 

(ii)

 

 

(iii)

 

 

(iv)

 

 

(v) 有这样一个方程

 

 

,

 

 

 

 

的orthonormal basis。

我来简单解释一下这些性质。这个V_j都是L^2(R)空间中的子空间,然后他们是由小到大的,交集是{0},因为这是最小的子空间,并集就是L空间。是不是有点难以理解?没关系,看看下面这个图就清楚了:

 

 

这个图是圈圈套圈圈,最里面的圈是V0,之后分别是V1,V2,V3,V4 。那他们有趣的性质就是,假如有一个函数f(t)他属于一个某空间,那你将其在时域上平移,它还是属于这个空间。但如果你对它频域的放大或缩小,它就会相应移到下一个或者上一个空间了。

同时我们还知道,你要形容每一个空间的话,都需要有对应的orthonormal basis,这是必然的,那对于V0来讲,它的orthonormal basis就是

 

 

这一系列函数是什么呢?是

 

 

的时域变换,而且我们刚才也说了,时域上平移,是不会跳出这个空间的。这样,我们就可以说,由这一系列basis所定义的L^2(R)子空间V0被这些basis所span,表示成:

 

 

k从负无穷到正无穷。上面的bar表示这是一个闭包空间,也就是说

 

 

这样,我们就定义了基本的V0这个子空间。刚才说了,这个子空间的基都是对

 

 

的整数时域变换,这里我们称

 

 

为scaling function,所以换个说法,就是说这里整个子空间V0,由scaling function和其时域变换的兄弟们span。

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关键词: 小波变换 motion

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