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在本文中，我们将通过一系列示例问题来说明卡森规则在带宽估计中的有用性。

本系列的早期文章探讨了调频波带宽的原理。在本文中，我们将通过使用卡森规则进行FM波带宽计算的几个详细示例来巩固这些概念。正如我们之前讨论的那样，这是一种确定FM信号有效带宽的方便方法。

卡森法则由下式给出：

方程式1

其中：

Δf为频率偏差

fm是调制频率

β是调制指数。

有了这些，让我们直接跳到例子中！

示例1：音调调制波的带宽

作为我们的第一个例子，让我们估计以下FM信号的传输带宽：

方程式2

示例1的解决方案

为了使用卡森法则解决这个问题，我们需要知道上述信号的Δf和fm的值。回想一下，调频调频波的一般形式由下式给出：

方程式3

其中Ac是载波信号的幅度，fc是其频率。

将该方程与方程2进行比较，我们看到fm为：

方程式4

接下来，我们需要找到频率偏差（Δf）。为此，我们首先需要确定瞬时频率。瞬时频率是正弦曲线参数的导数：

方程式5

由此可知，以Hz为单位的频率偏差为：

方程式6

我们现在知道调制频率（fm=318.31 Hz）和频率偏差（Δf=63.66 kHz）。将这些值代入卡森方程，我们得到近似带宽：

方程式7

或者，我们可以按照与fm相同的方式确定调制指数（β）。这种方法可以获得相同的结果，而不需要我们计算频率偏差。

比较方程式2和3，我们得到β=200。然后我们应用卡森规则的第二种形式：

方程式8

示例2：将角度调制波解释为FM或PM波

让我们再看一下方程式2中的信号。为方便起见，现转载如下：

方程式9

尽管我们之前将其称为FM信号，但方程9中的角度调制波可以是相位调制（PM）或频率调制（FM）。在任何一种情况下，我们都可以应用卡森规则来找到带宽。然而，改变调制信号的频率对PM和FM信号的频谱有不同的影响。

如果我们假设s（t）是PM波，它的带宽如何随fm变化？如果是调频波呢？让我们来看看！

示例2作为PM波

由单频消息信号m（t）=Ampcos（2πfmt）产生的PM波也可以用以下方程描述：

方程式10

其中kp是相位偏差常数。

将方程10与方程3中信号的一般形式进行比较，我们看到β等于kpAmp，与fm无关。使用卡森方程，带宽由下式给出：

方程式11

因为它与fm无关，所以β保持不变。因此，带宽与fm成正比。例如，我们目前的调制指数为β=200，调制频率为fm=318.31 Hz。如果我们将调制频率增加两倍，PM信号的带宽也会从127.96kHz加倍到255.92kHz。

接下来，让我们将s（t）解释为FM波。

示例2作为FM波

对于音调调制的FM信号，可以很容易地证明调制指数由下式给出：

方程式12

请注意，β与fm成反比。如果我们将fm从318.31 Hz加倍到636.62 Hz，调制指数从200减半到100。应用卡森定律，带宽为：

方程式13

与PM波不同，FM波的带宽仅随调制频率略有变化。

示例3：双音消息信号产生的FM波

考虑一个由两个正弦曲线组成的消息信号：

方程式14

这会产生以下形式的FM波：

方程式15

让我们使用卡森规则来估计以下参数值的s（t）带宽：

β1 = β2 = 5

fc=5 kHz

f1=2赫兹

f2=53Hz。

示例3的解决方案

与示例1一样，我们需要确定瞬时频率（⍵i），以找到频率偏差（Δf）。对正弦曲线的论证进行导数，我们得到：

方程式16

因此，Δf（单位为Hz）为：

方程式17

请注意，方括号内的两个余弦项在某些点（例如t=0时）同相。因此，最大值等于各个余弦波的振幅之和。

为了找到信号带宽，我们用消息信号中包含的最高频率（W）替换卡森方程中的fm。注意到在这种情况下W=53 Hz，我们有：

方程式18

图1显示了载波频率（fc=5kHz）附近的输出频谱。通过对调制信号执行FFT来获得频谱。

载波频率附近的调频波频谱。

图1 载波频率（fc=5kHz）附近的FM波频谱

此图中阴影的品红色区域表示根据卡森规则获得的带宽，范围从4672 Hz到5328 Hz。虽然卡森规则很好地估计了信号带宽，但我们在上面看到，它可能在一定程度上低估了实际调频系统的带宽。

请注意，当消息信号由f1和f2的两个音调组成时，对于所有可能的n和m值，FM信号包括fc+nf1和fc+mf2以及fc+nf1+mf2的频率分量。如图2所示，图2提供了图1在载波频率附近的特写。

载波频率附近FM波频谱的特写视图。

图2 载波频率附近FM波频谱的特写视图

该图显示了各种频率分量的频率和振幅，清楚地显示了边带出现的频率。例如，我们在以下位置有边带：

fc+f1=5002 Hz，fc+2f1=5004 Hz…

fc+f2=5053 Hz，fc+2f2=5106 Hz…

fc+f1+f2=5055 Hz，fc+2f1+f2=5057 Hz…

fc+f1+f2=5055 Hz，fc+f1+2f2=5108 Hz…

对于包含高频分量（f2）和低频分量（f1）的双音消息信号，我们观察到一个有趣的特性，即fc+mf2周围的边带分量类似于载波频率为fc+mf 2、调制频率为f1的FM波。

示例4：三角波产生的FM波

对于我们的最后一个例子，我们将考虑一个周期性的三角消息信号，它从-1上升到1，然后再回到-1。如图3所示，它以2ms的周期重复自身。

我们将使用周期性三角波来生成FM信号。

图3 我们将使用周期性三角波来生成FM信号

如果频率偏差常数（kf）为5kHz/V，载波频率为fc=25kHz，则估计上述消息信号产生的FM波的带宽。

示例4的解决方案

对于任意m（t），我们可以应用根据偏差比（D）编写的卡森规则来估计带宽：

方程式19

其中W是消息信号中包含的最高频率。

偏差比由下式给出：

方程式20

为了确定W，我们将检查图3中三角波消息信号的频谱。该光谱如图4所示。

消息信号的单侧频谱。

图4 消息信号的单侧频谱

基频为500Hz，高次谐波迅速下降。例如，2500 Hz的五次谐波的振幅仅为基波的4%，导致功率仅为基波功率的0.16%。

让我们假设三次谐波是信号的最高有效频率分量（W=1500Hz）。注意到m（t）的最大值为1，方程式20得出：

方程式21

这导致估计带宽为：

方程式22

图5显示了载波频率（fc=25kHz）附近的调制信号的频谱。

载波频率附近的调频波频谱。

图5 载波频率（fc=25kHz）附近的FM波频谱

在上图中，阴影洋红区域再次表示根据卡森规则获得的带宽。很明显，卡森规则在这种情况下有效地估计了信号带宽。

总结

在这篇文章中，我们使用卡森规则检查了四个不同的带宽计算示例。这种有用的近似方法捕获了FM波的大部分（至少98%）重要边带能量，使其成为频谱规划和分析的实用工具。

当我们在这里结束时，重要的是要注意，我们在本系列文章中的大部分讨论都集中在调频调频波上。现实世界的信息信号要复杂得多。尽管研究单音案例可以为FM波的某些特性提供有价值的见解，但概括这些发现有时可能会产生误导。例如，FM在单音输入下的输出信噪比是PM的三倍，但这并不适用于大多数实际信号。

关键词： FM带宽