数制、码制及相互间的转换

  作者:dolphin 时间:2017-07-26

一、数制及相互间的转换

 1. 计数体制

 (1)十进制数

  有0,1,2,…,9等十个数码元素,任何一个大小的数字都由这十个元素组成。例如(475.8)10或(475.8)D,这个十进制数可以写成。它表明:进制数为10(即r=10),高低位之间关系为逢十进一,高位至低位的权值为: 
因此有通式:。式中n是该数整数部分的位数,m是小数部分的位数, Ki是i位的数码,r是表示任意进制时的基数,如二进制数、八进制数和十六进制数等。

 (2)二进制数

  有0,1二个数码元素,基数r=2,逢二进一,如:(110101.101)2或(110101.101)B,写成通式展开后为:。高位至低位的权值为:

 (3)八进制数

  有0,1,…,6,7等八个数码元素,基数r=8,逢八进一,如:(356.71)8或(356.71)O,写成通式展开后为:。 高位至低的权值为:

 (4)十六进制数

  有0,1,2,…,9,A,B,C,D,E,F等十六个数码元素,基数r=16,逢十六进一,如:(5A8D.C6) 16或(5A8D.C6) H,写成通式展开后为:

高位至低位的权值为:

  十进、二进、八进和十六进制数间关系表:

 2 . 各种进制数之间的相互转换

  数字电路运行在二值的二进制数字信号下,但为书写方便,常用八进和十六进制数表示,而日常又习惯于十进制数,所以要进行数制间的转换。

 (1)十进制数整数部分—二、八、十六进制

  具体方法:将待转换的十进制数整数除以进制数(二、八、十六)取余数,不断地进行,直至商为零。第一次的余数为转换后进制数的最低位(LSB:Least Siginificant Bit),最后的余数为转换后进制数的最高位(MSB:Most Siginificant Bit)。

  十进制转换成二进制为例:

组成转换后的二进制数为:

 (2)十进制数小数部分的转换

  方法:待转换的十进制小数乘进制数(二、八、十六)取整,不断地进行,直至积的小数为零为止。必须注意:若积的小数达不到零时,根据转换的精度来取位数。另外,第一次的整数为转换后进制数的最高位(MSB),即:

 (3)二、八、十六进制数之间的相互转换

  方法:以二进制数为桥梁进行即可。

二、码制(代码或编码)

  生活中用一组十进制数来代表一个特定对象的情况是很多的。如电话号码、邮政编码等等。而在数字电路中,用一组二进制数来代替某一特定的对象,这组二进制数就是代表该对象的代码了。代替的方法有非常多的种类,数字电路中常用的有:

 1 . 二—十进制代码(BCD码)

  十进制的十个数码0,1,…,9分别用一组二进制数码代替。由于三位二进制数只有8种组合,代表不了10个数字,只能用四位二进制数的16种组合中选出10种,来代替十进制的10个数,所以,二—十进制代码的表示方法非常之多,我们只介绍主要的几种,其它可用此法方便地推出。常用的二—十进制代码(BCD码):

  有了二—十进制代码后,任何一个十进制数都可以用它们来代替了。

 2.循环码(格莱码)

  是一种可靠性编码。因为这种代码中任何二组相邻代码之间具有只有一位码不同,其它码相同的特性。

 3.字符代码

  它是国际标准组织制定的8位二进制代码,它包括英文26个字母,运算符号等56个特定对象。另一种是ASCII,美国国家信息交换标准代码。这两种代码都可在有关的计算机书中找到。

三、数字系统中的正负数表示

  数字电路只认识二进制数,所以正负数肯定也用二进制数表示。其方法是在一个数的最高位前设置一位符号位。符号位为“0”时,表示该数为正数,符号位为“1”时,表示该数为负数。这样规定后的表示形式有三种:

 1 . 正负数的“原码”表示

  原码表示规定:符号位加上原数的数值部分组成,即[X]原=符号位+原数值。

  如:X1=+1001010→ [X1]原=01001010;X2=-1001010→ [X2]原=11001010,这种原码表示方法,适用于两数相乘,因为乘积的符号位只要将两乘数符号位相异或即可。

 2 . 正负数的“反码”表示

  反码表示有二种情况:如果原数值为正数,则该数的反码为符号位加上原数值;如果原数值为负数,则该数的反码为符号位加上原数值的反码。即[X]反=符号位+原数值,X为正数;[X]反=符号位+原数值反码,X为负数。
如: X1=+1001010→ [X1]反=01001010;X2=-1001010→ [X2]反=10110101。

 3 . 正负数的“补码”表示

  补码(补数)可以从生活中来认识:如早晨7:00起床时,发现时钟停在10:00,要校到7:00时,有二种方法,一种是顺时针拔9个小时,另一种是反时针拔3个小时,都可以将时钟校到7:00。由于时钟走一圈是12小时,12将自动丢失,所以,对走一圈12小时这个最大数而言,顺拔时的10+9=12+7和反拔时10-3=7是等价的。因此,+9和-3就称为最大数12的互为补数(或补码),最大数(12)又称模。从上述可见,用补码表示可以把一个减法运算变换成加法。

 一个n位的二进制补码用下式求得:

  如:二进制数1010的补码是:。但实际操作时,有二种直接求法,一是原二进制数的反码加1求得补码;另一种是:从原二进制数的最低位开始,在遇到1(包括该1)之前,原数不变,其后数码按位求反,也可得到一个二进制数的补码。所以正负数的补码表示为:[X]补=符号位+原数值,X为正数;[X]补=符号位+原数值补码,X为负数。如: X1=+1001010→[X1]补=01001010;X2= -1001010→[X2]补=10110110。补码的运算规则:补码+补码=补码,补码再求补=原码。因此,减法运算X1-X2可用[X1]补码+[-X2]补码的加法运算处理。

例1:1100-1001=01100+10111=100011,其中,最高位丢失,留下符号位为0,所以结果是+3。

例2:1001-1100=01001+10100=11101,其中,11101是补码,符号位不变,数值再求补后得实际数,所以结果是-0011,即-3。

四、二进制的四则运算
二进制也可以进行四则运算,它的运算规则如下所示:
加运算 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10 逢2进1
减运算 1-1=0,1-0=1,0-0=1,0-1=1(向高位借1当2)
乘运算 0*0=0,0*1=0,1*0=0,1*1=1
除运算 二进制只有两个数(0,1),因此它的商是1或0.
例1:求(1011101)B与(0010011)B之和例2: 求(1101)B与(0101)B的乘积

通过例(1)我们再来介绍两个概念:半加和全加。

半加是最低位的加数和被加数相加时,不考虑低位向本位进位。
全加
是加数和被加数相加时,我们还要考虑低位向本位的进位。

关键词: 数制 码制 相互 间的 转换

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